本年1月から開始した月1回の「数学間違い探し」の連載は幅広い読者から読まれているようで、心から感謝の意を表す。 【数学間違い探し】大学生でも間違える計算「40－16÷4÷2」の答えは？ 第1回、第2回でも連載の背景や狙い詳しく述べているが、筆者の長年に渡る教育経験から悟ったことの一つに、算数・数学にある「間違い」を見付けるためには、暗記だけの学びはあまり役に立たない一方で、理解の学びが役に立つということがある。この「算数・数学の間違い探し」を通して背景にある「理解の学び」の重要性を少しでも学んでいただければ、筆者として嬉しく思う次第である。 毎回、初級、中級、上級の3題の「間違い探し」問題を順に出題するが、算数・数学として難しい問題を出題するものではなく、あくまでも間違い易い問題を出題する。
初級問題
---------- 【問1】円Bの半径は円Cの半径の2倍で、円周と円周は外接している。いま、円Bは固定する。そして円Bの周りを、円Cを外接した状態ですべることなくちょうど1周させると、その間に円Cは何回転するかという問題がある。A君は次のように考えた。 A君の考え:「半径が2倍ならば、円周も2倍である。そこで、円Bの周りを、円Cを外接した状態ですべることなくちょうど1周させると、その間に円Cは2回転することになる」 A君の考えが正しければ「正しい」と答え、間違っていれば正しい答えを述べなさい。 ----------
初級問題の解説
A君の答えは間違っている。 正解は3回転である。これは、実際に円Bと円Cを厚紙で作って試してみれば納得できる。 また、そのように2つの円を作らなくても、以下のようにして考えれば、正解が3回転であることは理解できるだろう。 図において、点Pは円Bと円Cが外接する両方の円周上の点で、点Qは、Cに関して点Pと対称な点で(線分PQは円Cの直径)、点Rは角RBPが直角となる円Bの円周上の点とする。 このとき、円Bの弧PRと円Cの弧PQ(円Cの円周の上半分)の長さは等しい。それゆえ円Cを、円Bに外接した状態ですべることなく動かしていくと、円Cの円周上の点Qが円Bの円周上の点Rと重なるときがある。その間に、円Cは3/4回転していることに注意する。 要するに円Cが、円Bの円周の1/4を進む間に、円Cは3/4回転している。したがって円Bの周りを、円Cを外接した状態ですべることなくちょうど1周させると、その間に円Cは3回転することになる。 なおこの問題は、かつて日本数学検定協会の3級で出題されて、一躍有名になった問題を変形したものである。数学検定の問題は、円Bと円Cの半径は同じであった(その場合の答えは2回転)。説明方法はいくつかあって、日本数学検定協会「Math Math」創刊2号(2004年)で述べられている説明方法は、上記のものとは異なる。
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